LAS CIENCIAS ABSTRACTAS
Las MATEMÁTICAS, incluyendo en ellas, no sólo la aritmética, el álgebra, la geometría y el cálculo diferencial e integral, sino que también las aplicaciones de las matemáticas a la física, tienen un método o un carácter bien marcado y especial; este carácter es, por excelencia, deductivo o demostrativo, y nos presenta bajo una forma muy aproximada a la perfección, todo el mecanismo de este modo de llegar a la verdad. Después de sentar un número muy pequeño de primeros principios, evidentes por sí mismos o muy fáciles de demostrar, las matemáticas sacan y deducen de ellos un enorme número de verdades y de aplicaciones, por un procedimiento eminentemente exacto y sistemático. Así pues, por más que este mecanismo esté hecho para servir en el dominio de la cantidad, sin embargo, como en todos los puntos discutidos por la inteligencia humana se presentan muchas ocasiones de recurrir al procedimiento deductivo o demostrativo, considerado con oposición al llamamiento directo de la observación, de los hechos, o de la inducción, el conocimiento de las matemáticas es una excelente preparación al empleo de este procedimiento. La rigurosa definición de todas las ideas y de todos los términos principales, la enunciación explícita de todos los primeros principios, el adelanto por vía de deducciones sucesivas, cuyas deducciones descansan cada una sobre una base ya firmemente establecida; ni petición de principio, ni admisión de hechos sin demostración, ni cambio imprevisto de terreno, ni variación en el sentido de los términos: tales son las condiciones que supone el tipo perfecto de una ciencia deductiva. Es necesario que el discípulo comprenda bien que no ha aceptado nada sin una razón clara y demostrada, y que no ha sido influido por la autoridad, por la tradición, por ninguna conjetura falsa, ni por el interés personal. Esta es, poco más o menos, la impresión que producen los estudios matemáticos regulares. Esta impresión sería aun más fuerte si fuese la ciencia más fiel a sí misma, y si no permitiera a veces que las definiciones, y especialmente los axiomas, fuesen demasiados vagos; y por fin si en las demostraciones, simples transiciones verbales no se presentaran algunas veces, como nuevos pasos dados hacia adelante. El tiempo hará desaparecer poco a poco este defecto, y será entonces la ciencia lo que no ha llegado aun a ser, es decir, la realización de la educación pura. Además de esta vista general del razonamiento demostrativo, los detalles de la ciencia de las matemáticas suministran a la constitución de las facultades racionables algunos de sus mejores elementos. De este modo es como las matemáticas nos hacen comprender la manera de sacar partido de varios elementos que concurren a un mismo fin. Tenemos un resultado determinado por dos o tres factores, y aprendemos a calcular la influencia ejercida por un cambio hecho a uno o a varios de estos mismos factores. Vemos que uno o dos de ellos no cambian y que, sin embargo, el resultado varía por causa de un cambio del tercer factor; vemos también que pueden cambiar todos los factores sin que deje el producto de ser constante, porque los cambios han sido de naturaleza neutralizadora; y así sucesivamente. La aplicación regular de este procedimiento simple a las operaciones más complicadas de la naturaleza y de la inteligencia, es la demostración de un entendimiento cultivado. El mismo ejercicio puede repetirse en el estudio de la mecánica, en relación con las fuerzas, y este trabajo hace las aplicaciones ulteriores de aquel todavía más provechosas.5 He aquí un ejemplo que tomamos de los ENSAYOS DE ADDISON sobre los placeres de la imaginación: «Consideraré primero los placeres de la imaginación que nos suministra la vista y el examen de los objetos exteriores; según mi opinión, estos placeres son debidos a la vista de cualquier objeto grande, poco común o muy bello. Cierto es que algunos objetos pueden ser bastante terribles o bastante repugnantes para que el horror que inspiran borre el placer causado por su tamaño, su novedad o su belleza; pero quedará sin embargo cierta mezcla de placer en este horror, si esta cualidad es mayor que las demás». Esta es una alusión hecha al tratar del principio de la composición de fuerzas. Un entendimiento bien ejercitado en las matemáticas puras y aplicadas, las haría desempeñar un papel importante en todo este estudio. Tomaremos también como ejemplo las influencias complejas que entran en la idea de nacionalidad, tales como J. S. Mill las expresa: «Puede decirse que muchos hombres forman una nacionalidad, cuando están unidos entre sí por comunes simpatías que no existen entre ellos y otros hombres, simpatías que les impulsa a obrar juntos más bien que con otros hombres, deseando vivir bajo el mismo gobierno y queriendo que se ejerza este gobierno exclusivamente por sí mismos o sólo por una parte de ellos. Este sentimiento de nacionalidad ha podido producirse por CAUSAS DIVERSAS. Es, algunas veces, el resultado de una identidad de raza y de origen. La comunidad de lengua y de religión contribuye mucho a desarrollarle. Los límites geográficos deben contarse en el número de sus causas; pero la más eficaz de todas, es la identidad de antecedentes políticos: la existencia de una historia nacional, y por consiguiente de comunes recuerdos, de motivos iguales de altanería y de humillación, de placer y de sentimiento, relacionándose con los mismos sucesos ya acontecidos; mas ninguna de estas circunstancias es indispensable, ni necesariamente suficiente de por sí». Para tratar bien una cuestión de este género, el conocimiento de los hechos no basta; es preciso unirle un espíritu penetrado de la concepción de los elementos concurrentes y de los diferentes resultados que pueden facilitar las variaciones de estos elementos. Por el estudio de las ciencias matemáticas es como mejor y más pronto puede conseguirse establecer esta concepción. Para dar a conocer los signos que marcan un carácter depravado, Bentham se sirve muy a propósito del lenguaje matemático. He aquí un ejemplo: «Dada la fuerza de la tentación, la maldad de carácter manifestada por una tentativa, es igual a la de la acción misma». Otro ejemplo: «Dada la aparente maldad de una acción, la depravación del que la comete es tanto más grande cuanto más pequeña es la tentación a que ha cedido».6 Por las matemáticas es como mejor puede comprenderse lo que hace un problema definido o indefinido. La idea tan importante de la resolución de un problema con una aproximación dada, es un elemento de cultura nacional que sale de la misma fuente. El arte de hallar la suma de LAS FLUXIONES7 por medio de las curvas puede extenderse por el entendimiento, mucho más allá del dominio de las matemáticas, en que se aprende primero. La distinción entre las leyes y los coeficientes encuentra su aplicación en todas las teorías sobre las causas. La lógica debe a las matemáticas la teoría tan importante de la probabilidad de los testimonios. En todos estos ejemplos, considerarnos las matemáticas como ejercicio intelectual, es decir como suministrando formas, métodos e ideas que forman parte del mecanismo y del razonamiento, siempre que éste reviste una forma científica. Bajo este punto de vista es como puede el estudio de las matemáticas imponerse a todos los discípulos; pero entonces estas fecundas ideas deben dominar toda la enseñanza, y el maestro debe hacer de modo que su influencia pueda ejercerse sobre los demás estudios. No debe olvidar nunca que para las nueve décimas partes de los discípulos, la principal utilidad de las matemáticas proviene de estas ideas; y de estas formas de pensamiento que puede aplicar a otros conocimientos; la resolución de un problema no es el fin principal más que para una minoría muy débil. Bajo el punto de vista de los conocimientos adquiridos, la utilidad de las matemáticas es más evidente; pero esta utilidad, llevada tan lejos como pueda ser, no existe más que para ciertas profesiones especiales. Bueno es que todo el mundo pueda resolver, sin trabajo, una cuestión de aritmética, y podrán hacerlo más fácilmente los que hayan estudiado más profundamente el álgebra. Sin hablar de la utilidad práctica de la geometría para los agrimensores, los ingenieros, los marinos, y otros muchos, esta ciencia es de una utilidad más general aun por la costumbre que da de juzgar, con bastante exactitud y sin pena, de la forma, distancia, posición y configuración de los objetos, tanto en pequeña escala como en grande. Los ejemplos a los cuales aplicamos las operaciones de la aritmética y las del álgebra, nos dan además muchos conocimientos prácticos muy útiles, y con un poco cuidado nos darían, sin duda alguna, otros muchos más. Los que triunfan, sin mucho trabajo, de las dificultades de las matemáticas, encuentran en este estudio un atractivo que llega a ser algunas veces una verdadera pasión. Esto no sucede sin embargo a todo el mundo; pero puede decirse que esta ciencia tiene en sí elementos del vivo interés que es la base de los placeres del estudio. El admirable mecanismo de la resolución de los problemas, da al entendimiento la satisfacción que procura el sentimiento del poder intelectual, y las innumerables combinaciones de las matemáticas nos llenan de admiración. Entre las ventajas de las matemáticas, hay algunas que no les pertenecen de un modo exclusivo. Se dice a menudo que para seguir una larga demostración, es indispensable la costumbre de la atención sostenida: esto es positivo, pero otros diferentes estudios exigen también la misma atención. Las ventajas que hemos expuesto hasta aquí son las que pertenecen exclusivamente a las matemáticas, y que sólo éstas, por decirlo así, pueden procurar. Si las ciencias físicas parecen presentar algunas, lo deben únicamente a las matemáticas que han preparado las vías de aquellas. Después de este rápido examen de lo que hacen las matemáticas, deberíamos, para más claridad, hablar también de lo que no pueden conseguir, y que no obtendremos nunca por ellas solas. Las matemáticas no nos enseñan a observar, ni a generalizar, ni tampoco a clasificar. No nos enseñan el arte indispensable de definir por el examen de objetos particulares. Nos ponen en guardia contra algunos de los artificios de la palabra, pero no contra todos; no nos ayudan en ningún modo cuando los enunciados y los razonamientos son confusos por la chacharería, los giros raros, las inversiones o las elipses. No tienen la propiedad del silogismo en lógica, y a pesar de ser ellas mismas un excelente ejercicio de lógica, no pueden reemplazar a esta, bajo ningún concepto. Su cultura exclusiva engaña el entendimiento bajo el punto de vista de la averiguación de la verdad en general, y la historia prueba que ha introducido graves errores en la filosofía y en las ideas generales.
